Jak se dosahuje a měří záporná spinová teplota

Vladimír Wagner

Podrobněji si popíšeme, jak přesně se záporné teploty u spinových kvantových systémů dosahuje a jak se tyto teploty měří.

Před pár dny jsem na Oslovi psal o studiu systémů se zápornou teplotou. Při bouřlivé diskuzi pod tímto článkem jsem si uvědomil, že u laiků, kteří mají o řadě termodynamických pojmů spíše jen intuitivní představy, může docházet k řadě nepochopení. Proto by si možná některé vlastnosti systémů se zápornou teplotou zasloužili detailnější objasnění. Zároveň by možná aspoň pro některé čtenáře bylo zajímavé, jak konkrétně se experimentálně takové systémy připravují a jak se záporná teplota u nich měří. Alespoň zjednodušeně bych se to pokusil v následujícím textu popsat.

Opakování - co je záporná teplota?

Nejdříve si krátce připomeňme, co vlastně pojem záporná teplota znamená. Detailněji se tomu věnuje předchozí článek. V něm jsme si připomněli, že teplotu můžeme definovat různými způsoby. Můžeme vycházet z termodynamických veličin, mezi něž patří i entropie. Její statistická interpretace nabízí i jednu z možností jak teplotu definovat a určit. Další cesta ke stanovení teploty vede například přes kinetickou teorii plynů. Existují i další možnosti. V běžných podmínkách si tyto různé interpretace a definice odpovídají a umožňují vzájemnou kalibraci teplot měřených různými způsoby. V hraničních oblastech však mohou některé interpretace selhávat a jiné vést k zobecněním pojmu teploty pro popis nových specifických termodynamických systémů. V námi zkoumaném případě jsme se zaměřili na využití entropie (tedy míry neuspořádanosti) systému. Teplotu lze určit ze změny tepla (energie) odpovídající jednotkové změně entropie. V normálních podmínkách entropie při dodávání energie (tepla) roste a teplota je kladná. Pro velmi nízké teploty se však kromě energie chaotického pohybu atomů a molekul začíná projevovat energie spojená s jinými stupni volnosti. A stále více se projevují kvantové vlastnosti. Různé stupně volnosti mohou mezi sebou intenzivně interagovat (výměna energie mezi nimi je velmi rychlá a silná) nebo mohou být do značné míry oddělené (výměna energie mezi nimi je malá a pomalá).

Významným odborníkem v oblasti studia extremních teplot byl O.V. Lounasmaa, který studoval právě i systémy s negativní teplotou. Zde je u svého obrazu, který si nechala namalovat Nízkoteplotní laboratoř Helsinské technologické university při jeho odchodu do penze. (Zdroj LTL Helsinky University of Technology)

Existují pak speciální kvantové systémy, u kterých může entropie s dodáváním energie klesat a tedy - i když do značné míry „formálně“ - dostáváme záporné teploty. Tyto systémy musí splňovat několik podmínek. Hlavně musí existovat jen omezený počet stavů a jejich energie musí mít diskrétní a omezené hodnoty. Dále musí být omezen přenos energie k jiným stupňům volnosti.

Pojďme se podívat, jak vypadá situace v zjednodušeném případě, když máme pouze dvě diskrétní úrovně energie. Pokud bychom měli všechny částice „zamrzlé“ v energeticky nižším stavu, teplota i entropie by byly nulové (systém je plně uspořádaný a existuje jediný mikrostav, kterým můžeme dostat daný makroskopický stav). Pokud budeme dodávat systému energii, poroste entropie i teplota. V určitém okamžiku, když máme přesně polovinu částic v nižším a polovinu ve vyšším energetickém stavu, dosáhne entropie maximální hodnoty a s dalším dodáváním energie začne klesat. V tom případě teplotu definovanou pomocí entropie dostáváme „formálně“ jako zápornou. S dalším dodáváním energie klesá jak entropie, tak se zmenšuje i velikost záporné teploty. Když se nám podaří dodat tolik energie, že zamrazíme všechny částice do spinové orientace s vyšší energetickou hodnotou, opět dostaneme stav s nulovou entropií. Také teplota bude nulová, tentokrát však dosažená ze „záporné“ strany (nárůstem tepla jsme dospěli k nule). I v tomto případě se však můžeme k hraniční hodnotě jen limitně přibližovat. Je třeba zdůraznit, že systém se zápornou teplotou je teplejší než systém s kladnou a dochází k přetoku energie od systému se zápornou teplotou k tomu s teplotou kladnou.

Ještě bych rád znovu zdůraznil nedosažitelnost absolutní nuly jak ze směru kladných teplot, tak ze směru teplot záporných. A nedochází tak ani u záporné teploty k porušení třetího termodynamického zákona. Ostatně jsou pro ni splněny i další termodynamické zákonitosti. Pro lepší názornost nedosažitelnosti teploty absolutní nuly a spojitého přechodu přes nekonečno je možné systém se zápornou teplotou charakterizovat ne teplotou, ale její převrácenou hodnotou. Pak máme plus nekonečno a mínus nekonečno v místech nedosažitelné absolutní nuly. A místo přechodu přes nekonečno, přecházíme přes nulu. Pro klasické teploty ovšem dostaneme nulu a tedy pro laika zdání dosažitelnosti na straně v tomto případě nedosažitelné nekonečné teploty. Pro klasickou teplotu můžeme použít raději logaritmus teploty, jak třeba zmiňuje i Max von Laue ve svých Dějinách fyziky. To pak máme pro absolutní nulu záporné nekonečno a pro nekonečnou teplotu nám zůstává plus nekonečno. Tento popis však nelze použít v případě kvantového systému se zápornými teplotami. Běžná laické zkušenosti se ale vymyká převrácená hodnota teploty či dokonce její logaritmus a tak nám tyto změny popisu při popularizaci moc nepomohou.

Zastavme se ještě u podmínek, které umožňují nastolit termodynamickou rovnováhu systému, při které dostaneme konstantní (či jen relativně pomalu se měnící) a dobře definované hodnoty termodynamických stavových veličin (teploty, entropie, …). Ta může nastat jedině v případě, že výměna energie mezi systémem a okolím je mnohem pomalejší než výměna energie uvnitř systému, která umožňuje vyrovnání hodnot zmíněných stavových veličin uvnitř něho. „Klasickým“ příkladem takového systému je šálek s čajem právě zalitým horkou vodou. V hrnečku se teplota ustálí mnohem rychleji, než probíhá její vyrovnávání s okolím. Horký čaj je tak při chladnutí v termodynamické rovnováze a jeho teplota je tak dobře definována.

Nositelé Nobelovy ceny za studium supratekutého izotopu helia 3 David M. Lee, Douglas D. Osheroff a Robert C. Richardson na návštěvě v Nízkoteplotní laboratoři Helsinské technologické univerzity, významného místa studia i negativních teplot. (Zdroj LTL Helsinky University of Technology)

Spinové systémy, spinová teplota

V minulém povídání jsem se zmínil o komplexnějších kvantových systémech, které se zatím objevily pouze v teoretickém návrhu. Nyní bych se věnoval pouze jednomu typu jednodušších kvantových systémů, u kterých lze docílit záporných teplot. Jde o systémy spinové. Jejich experimentální realizace a studium probíhá v laboratořích už od padesátých let. Spin (vnitřní úhlový moment hybnosti) částic nebo jader je spojen i s existencí magnetického momentu. Částice nebo jádro se tak v magnetickém poli chová jako malá magnetka. Energii pak určuje její orientace vůči vnějšímu magnetickému poli. Zaměřme se na nejjednodušší situaci, kdy je spin částice nebo jádra 1/2. V tomto případě mohou být jen dvě možnosti orientace spinu a hodnoty energie. Jde o případ, který nastává například u jader stříbra a rhodia, proto se i často používají k experimentům. Tato jádra jsou součástí například krystalu, který lze umístit do magnetického pole. Pro to, abychom mohli dosáhnout záporné spinové teploty a zkoumat ji, musí být přenos energie mezi spinovými stupni volnosti příslušných jader a jinými stupni volnosti krystalové mříže omezený a pomalý. To umožňuje dosáhnout spinovou teplotu dlouhodobě odlišnou od teploty krystalové mříže. Podmínkou je mnohem rychlejší přenos energie spojené s orientací jader v magnetickém poli mezi těmito jádry než jiná výměna energie s krystalovou mříží či okolím.

Ukázka chování spinového systému složeného z jader se spinem 1/2 v magnetickém poli. Při změně orientace pole se jádra původně v nižším energetickém stavu dostanou do stavu s energií vyšší. Od kladných teplot tak přejdeme k záporným a naopak. (Zdroj A.S. Oja, O.V. Lounasmaa: Review of Modern Physics 69(1997)1 )

Situace, že dvě prolínající se složky mohou mít dvě různé, dobře definované teploty, není zase tak neobvyklá. Opět však musí platit, že přenos energie mezi částicemi určité složky je mnohem rychlejší než mezi částicemi různých složek. Jde třeba o případ plazmatu, v němž mohou mít elektrony a ionty různé teploty z důvodu velmi velký rozdílů jejich hmotností. Ještě exotičtější případ je vesmírné reliktní záření, jež vyplňuje homogenně celý kosmický prostor. Jeho teplota zhruba 2,73 K je nezávislá na ostatních složkách tvořících vesmír. Je to dáno tím, že neexistují procesy, ve kterých by si fotony reliktního záření mohly vyměňovat energii s ostatní hmotou.

Představme si, že chceme zkoumat, jak extrémně horký systém postupně chladne a jak se při tom mění jeho teplota. Chci ukázat, že není tak velký rozdíl, když například s obyčejnou vodou experimentují studenti v laboratoři na gymnáziu nebo se spinovým kvantovým systémem zabývají vědci v moderní fyzikální laboratoři. Studenti vezmou varnou konvici a uvedou vodu do varu. Pak ji přelijí do hrnce, počkají, až se teplota v hrnci vyrovná v celém objemu a změří teploměrem poprvé teplotu. Pak budou v pravidelných intervalech měření opakovat a vynášet závislost teploty na čase, až dokud se teplota neustálí, tedy nevyrovná s okolím. Zjistí, jak probíhá ochlazování vody v daném hrnci na pokojovou teplotu. Popišme si nyní měření teplotních změn kvantového spinového systému.

Jak získat zápornou teplotu?

Místo varné konvice musíme použít trochu jiný trik. Vhodný krystal (materiál) umístíme do silného homogenního stejnosměrného magnetického pole. Spiny jader (jaderné „magnetky“) se postupně orientují. Velká většině z nich se podaří natočit se vzhledem na směr vnějšího působícího pole tak, že se nachází v nejnižším energetickém stavu. Existují pak způsoby, jak i z takového systému odebrat energii, aby opravdu co největší procento spinů bylo orientováno energeticky nejvýhodnějším směrem. Pak krystal ve stejné poloze přesuneme do opačně orientovaného magnetického pole. Usměrnění spinů většiny teď odpovídá stavu s největší možnou energií. Tím se systém velmi chladný stal systémem velmi horkým. Jak jsme si řekli, výměna energie mezi spinovými stavy probíhá velmi rychle. Naopak, ve srovnání s ní únik energie do jiných stupňů volnosti, pryč ze spinového systému, probíhá velmi pomalu – relaxační doba je relativně velmi dlouhá.

Stejně jako po přelití horké vody do hrnce i u spinového systému dostaneme rychle termodynamickou rovnováhu. Po změně magnetického pole se ustálí za velmi krátký čas. Systém tak má dobře definovanou spinovou teplotu. Protože většina spinů se nachází ve stavu s větší energií, při překlápění části z nich do stavu s nižší energií (třeba právě unikem energie do jiných stupňů volnosti) dochází k úbytku energie systému, ale k nárůstu entropie. Teplota je tedy záporná. Pokud pole vypneme, tak v případě kladné i záporné teploty se začne restaurovat náhodné rozložení orientace spinů, tedy entropie se zvyšuje, až se systém ustálí ve stavu s její maximální hodnotou. Tedy v obou případech v souladu s druhým termodynamickým zákonem. A právě takové experimenty jsou prováděny už od roku 1951, kdy zmíněný systém poprvé připravili E. M. Purcell a R. V. Pound. Při experimentech je důležité najít systém, u něhož je relaxační doba, která uplyne, než se spinová orientace ztratí, co nejdelší. Tedy stejně jako u horké vody i chladnutí kvantového spinového systému bude pomalé.

První měření ochlazování spinového systému se zápornou teplotou v krystalu LiF. Zleva vidíme absorpční pík odpovídající kladné teplotě zhruba +300 K, pak dojde k přesunutí krystalu do opačně orientovaného magnetického pole a dostaneme emisní pík ukazující na zápornou teplotu zhruba -300 K. Jak systém chladne, velikost záporné teploty roste. Velikost emisního píku se zmenšuje. Při její nekonečné hodnotě je nulová. Teplota se stává kladnou a dostáváme absorpční pík. Jak kladná teplota klesá, velikost absorpčního píku se zvětšuje. Až postupně dostaneme kladnou teplotu zhruba +300 K.(zdroj E.M. Purcell a R.V. Pound, Phys.Rev.Lett. 81(1951)279)

Jak zápornou teplotu měřit?

K tomu lze využít metodu jaderné magnetické rezonance. Na systém začneme působit proměnným elektromagnetickým polem se správnou frekvencí, která dokáže měnit orientaci příslušných spinů (magnetek). Můžeme si to představit i tak, že fotony odpovídajícího elektromagnetického záření musí mít takovou energii, která je rozdílem mezi energií vyššího a nižšího stavu. Přesná hodnota frekvence je závislá na intenzitě stálého magnetického pole, ale v každém případě spadá do oblasti rádiových vln. Krátký puls takového proměnného elektromagnetického pole způsobí v systému změnu entropie a tedy i energie. Systém má tendenci dosáhnout stav s maximální hodnotou entropie (tedy s vyrovnaným množstvím jader orientovaných v různých směrech). V případě záporných teplot energie pole naroste, spiny do něj část energie uvolní, a dostaneme spektrum emisní. V případě kladných teplot je naopak energie z proměnného elektromagnetického pole odebrána a absorbována spiny. Dostaneme tak absorpční spektrum. Tak trochu je to možné přiblížit pomocí emisních a absorpčních čar v klasickém spektru třeba Slunce nebo hvězd. Z formy absorpčního či emisního píku pak lze určit teplotu systému.

Jak už bylo zmíněno, první takový systém připravili a zkoumali už v roce 1951 E. M. Purcell a R. V. Pound. Použili krystal fluoridu lithného, který má velice dlouhý relaxační čas, jak v intenzivním magnetickém poli tak bez něj. Systém má velmi výhodné vlastnosti. Procesy interakce mezi spiny, které nastavují termodynamickou rovnováhu ve spinovém systému, jsou velmi rychlé. Jejich charakteristické časy jsou menší než zlomky milisekund. Doba jeho chladnutí je naopak hodně dlouhá. V případě tohoto experimentu trvala zhruba pět minut, což je doba pokrytá měřením znázorněným na obrázku.

Jaderná magnetická rezonance má i jiná uplatnění - zobrazení kolenního kloubu.

Závěr

V současné době se využívá také měď, stříbro nebo rhodium, tedy kovy. Mají tu výhodu, že jejich atomový magnetický moment je nulový. To je důležité proto, že jaderný magnetický moment je mnohem menší – asi o tři řády - než atomový (samozřejmě jen v případě, že ten není nulový. I právě jaderné magnetické momenty se využívají k rekordnímu dochlazování. Chlazení je založeno na odebírání energie spinovému systému pomocí jaderné adiabatické demagnetizace. Problém je pomalé nastolování termodynamické rovnováhy mezi spinovým systémem a mřížkou. Velmi intenzivní chlazení umožňuje pracovat v oblasti miliKelvinů a přiblížit se těsně k absolutní nule jak ze strany kladných, tak i záporných teplot. Rekordy v dosažených nejnižších teplotách se blíží k desítkám pikoKelvinů.

Zajímavé je studium délky doby chladnutí různých systémů od záporných teplot ke kladným. Mohlo by pomoci nalézt systém, který si udrží zápornou teplotu co nejdéle. Důležité je dosahování záporných teplot co nejbližších absolutní nule. Inspirující je i výzkum změn magnetických vlastností látek, které v podmínkách záporných teplot probíhají u kvantových spinových systémů. Není vyloučeno, že se v budoucnu najdou i zajímavé praktické aplikace takových systémů. Při objevu jaderné magnetické rezonance se také nedalo předpovídat, jak široké nalezne uplatnění třeba v medicíně.

U jaderné magnetické rezonance se také nečekalo tak široké uplatnění – moderní přístroj pro diagnostiku pomocí ní.

Velmi podrobný a dobře napsaný přehled problematiky publikoval A.S. Oja a O.V. Lounasmaa v Reviews of Modern Physics. Jak už jsem se zmínil, nejsem expert na tuto oblast, tak budu rád, když budu v diskuzi upozorněn na případné chyby a nemístná zjednodušení.

Řež, 11. 1. 2011

---