Přesnost atomových hodin, GPS a teorie relativity.

Vladimír Wagner

ÚJF AVČR Řež a FJFI ČVUT Praha

Kapitán tam zapsal své měření, vypočetl podle chronometru zeměpisnou délku a ještě ji překontroloval dříve změřenými hodinovými úhly. Potom mi řekl: „Pane Aronnaxi, jsme na 137^o15´západní délky.“

Jules Verne: Dvacet tisíc mil pod mořem.

K napsání tohoto příspěvku o globálním pozičním systému GPS jsem měl dvě inspirace. Občas se na mě obracejí lidé, kteří vyvracejí speciální nebo obecnou teorii relativity. Snažím se jim vysvětlit, že zvláště předpovědi speciální teorie relativity jsou dnes potvrzovány s fantastickou přesností. Ve fyzice částic by bez uplatnění speciální teorie relativity nefungovalo téměř nic. Například žádný urychlovač na velmi vysoké energie. Korekce na obecnou teorii relativity je třeba zavést do pohybu sond putujících do vzdálených oblastí Sluneční soustavy. Řada vesmírných procesů a jevů by bez ní nebylo možno vysvětlit a popsat. Ještě silnějším argumentem je zařízení, na které si může sáhnout kdokoliv a začíná ho běžně užívat velká část obyčejných lidí. Druhým důvodem byl současná obrovská módnost tohoto systému mezi mládeží. Syn letos maturuje a jako seminární práci si vybral právě popis tohoto systému. To mě vedlo k tomu, že jsem se pokusil přehledně shrnout základní fyzikální principy, které za GPS stojí a tak úzce souvisí se základními fundamenty moderní fyziky - kvantovou teorií, speciální teorií relativity a obecnou teorií relativity. Jsem si vědom toho, že takových popisů visí na internetu řada, takže je troufalé si myslet, že se mi podaří zplodit text jiný a zajímavý. Přesto doufám, že alespoň pár čtenářům by mohl oslovit.

Soustava družic GPS umožňuje určit přesnou polohu.

Atomové hodiny a jejich přesnost.

Nejdůležitější podmínkou pro vytvoření globálního pozičního systém GPS je možnost měřit čas s fantastickou přesností. Abychom se podívali na limity přesnosti této fyzikální veličiny, musíme si trochu osvětlit funkci v současnosti nejpřesnějšího časoměrného zařízení – atomových hodin. Existuje více typů tohoto přístroje, i když všechny jsou založeny na využití přechodu elektronu v atomovém obalu z jednoho stavu do jiného s vyšší energií. My se podíváme na jeden z nejpřesnějších. Jeho princip spočívá v nastavení frekvence oscilátoru, který budí mikrovlnné elektromagnetické pole, pomocí energie přechodu elektronu v atomovém obalu atomu ze stavu s nižší energií do stavu s energií vyšší. Využívá se toho, že díky kvantovým vlastnostem probíhá vyzařování a pohlcování elektromagnetického záření pouze v kvantech s přesně danou energií E, která souvisí s frekvencí f tohoto záření vztahem E = h∙f, kde h je tzv. Planckova konstanta. Přechod elektronu z jednoho stavu do vybuzeného stavu s o trochu vyšší energií je tak možný jedině pomocí elektromagnetického záření s velice přesně danou frekvencí odpovídající požadované změně energie. S výhodou je možno využít také toho, že v každém z těchto dvou stavů má atom jiný moment hybnosti (spin), a tedy i jiný magnetický moment. V jednom je tedy slabším a v druhém silnějším magnetem.

První atomové hodiny z roku 1955.

Atomové hodiny obsahují elektrický oscilátor, který v dutinovém rezonátoru budí elektromagnetické pole s danou frekvencí, v našem případě v mikrovlnné oblasti. Pro nastavení a kontrolu frekvence se využívá například atomů cesia nebo rubidia. U izotopu ¹³³Cs je použit přechod vyvolávaný zářením s frekvencí 9 192 631 770 Hz. Další důležitou součástí hodin je tedy zdroj par cesia. Atomy ze zdroje prochází magnetickým polem, které oddělí „slabé magnety“ od „silnějších“. Do dutiny rezonátoru, která je vyplněná elektromagnetickým polem s danou frekvencí, pošle jen atomy, u kterých je elektron ve stavu s nižší energií. Pokud je frekvence oscilátoru budícího pole správná, přejdou elektrony v atomech pohlcením fotonů s odpovídající energií do stavu s vyšší energií. Za rezonátorem je opět magnet, který oddělí atomy v různém stavu a ty ve stavu s vyšší energií pošle na detektor. Pokud je frekvence správná, dopadá na detektor intenzivní tok atomů cesia. Pokud ne, není na detektoru signál a je třeba měnit frekvenci oscilátoru tak, abychom dostali signál co největší. Udržuje se tak velmi stabilní přesná frekvence a počítáním kmitů dostáváme velmi přesný časový údaj. Ještě lze připomenout, že frekvence přechodu elektronu v atomu cesia je tak přesně určena, že se využívá k definici sekundy.

Velmi přesné atomové hodiny NIST F-1 využívající hluboce ochlazené atomy cesia začaly pracovat v roce 1999 v Americkém úřadu pro standardy a technologie

V současné době je u nejlepších atomových hodin nejistota v určení času jen o chlup větší než 0,1 ns = 10^-10s na 24 hodin. Relativní přesnost tak dosahuje hodnoty téměř 10^-15. Jinak řečeno, za zhruba 15 miliónů let by se takové hodiny rozcházely nejvýše o jednu sekundu. Dosahovaná přesnost je závislá na tom, jak se u jednotlivých atomů liší energie (frekvence), které jsou potřebné k vybuzení elektronu z jednoho stavu do druhého. Jejich rozdíly jsou způsobeny dvěma fyzikálními jevy. První vzniká tím, že se každý atom náhodně pohybuje a u každého tak vzniká jiná velikost Dopplerova posuvu u jim pohlcovaného fotonu. Tepelný pohyb atomů je náhodný a rozdělení rychlostí závisí na teplotě plynu. Čím je vyšší teplota, tím jsou vyšší i rychlosti pohybu atomů. Dostáváme tak rozmazání hodnot frekvencí oscilátoru, které jsou potřebné pro excitaci atomů. Maximální počet vybuzených atomů dopadajících do detektoru dostáváme pro určité rozpětí frekvencí, které tak určuje i časovou nepřesnost hodin. Vliv tohoto rozmazání lze silně omezit co největším snížením teploty pracovního plynu. Proto je u nejpřesnějších atomových hodin snaha dosáhnout jeho co nejnižší teploty. Druhý jev je kvantové povahy. Některé veličiny nelze určovat s libovolnou přesností současně. Takovými veličinami jsou také energie a čas. Excitovaný stav, do kterého se atom dostane, není stabilní. Elektron přechází po nějaké době do stavu s nižší energií za současného vyzáření fotonu s energií, která se jeho přechodem uvolnila. Pravděpodobnost toho přechodu je přesně dána. I když tedy u jednotlivého atomu nelze říci, kdy u něj k přechodu dojde, u velkého souboru těchto atomů můžeme přesně říci, za jak dlouho přejde polovina z původního počtu vybuzených atomů do stavu s nižší energií. Tato doba se označuje jako poločas vybíjení daného stavu. Čím menší je poločas vybíjení, tím méně přesně je definována energie vybuzeného stavu. Součin poločasu a neurčitosti energie je úměrný Planckově konstantě, která se nám v článku už objevila. Popisovaná zákonitost se označuje jako Heisenbergův princip neurčitosti. I tento jev vede k rozmazání hodnoty frekvence oscilátoru, která dokáže vybudit atomy. Doba života vybuzeného stavu a rozmazání velikosti jeho energie jsou však pro definovaný přechod daného druhu atomu přesně určeny a nelze je změnit. Musíme začít používat jiný přechod, případně i jiný druhu atomu. A to takový, u kterého má vybuzený stav delší poločas vybíjení a tím i menší neurčitost v energii. Proto se v současnosti hledají nejvhodnější přechody v různých atomech. Pracuje se například se rtutí či yterbiem. Vypracovávají se metody co největšího ochlazení souboru použitých atomů. Díky tomu by se mělo v nejbližší době dosáhnout až takové přesnosti atomových hodin, která by připustila za dobu rovnající se zhruba stáří vesmíru neurčitost ne větší než jednu sekundu.

Nutno poznamenat, že náš popis je zjednodušený a reálná konstrukce přesně fungujících atomových hodin je daleko složitější. Fyzikální principy určují pouze ideální případ a zmiňované dosažené přesnosti jsou dány konkrétním technickým provedením. Některé typy atomových hodin mohou být velmi přesné v kratší časové oblasti a jsou méně stabilní v dlouhodobějším provozu. U dalších to může být opačně. Proto se v časových laboratořích často používá více typů a vzájemným porovnáním se dosahuje ještě větší přesnosti měření času.

Zobrazení umístění družic GPS

Princip GPS

Základním principem určení polohy pomocí GPS je změření vzdáleností pozorovatele od tří (čtyř) družic, které jsou vhodně umístěny na oběžných drahách okolo Země. V současném americkém systému (družice se pohybují na drahách okolo Země ve výšce zhruba 20 000 km s dobou oběhu 12 hodin) je pro plné využití potřeba 24 družic. Jsou rozmístěny tak, aby měl pozorovatel vždy možnost „vidět“ potřebný počet ve vhodné poloze. Poloha těchto družic je velmi přesně známá a navíc nesou velmi přesné atomové hodiny. Mohou udat přesný čas vyslání svého signálu. Vzdálenosti se tak určují pomocí doby šíření signálu od družice k pozorovateli. Pokud by měl velmi přesné hodiny i pozorovatel, získá informaci o okamžiku příchodu signálu pomocí nich a informaci o době vyslání získanou pomocí hodin na družici má zakódovanou ve vysílaném signálu. Příslušná vzdálenost pak udává poloměr koule se středem v místě polohy družice jejíž plocha určuje místa možné polohy pozorovatele. Průnikem ploch dvojice koulí definované polohami dvojice družic a jejich vzdálenostmi od pozorovatele je kružnice. Jestliže přidáme třetí družici a jí definovanou kouli protneme s kružnicí získanou pomocí předchozích dvou družic, získáme dva body. Jednu z možných získaných poloh lze vyloučit díky předpokladu, že se pozorovatel vyskytuje na povrchu Země.

Tak by to fungovalo, jestliže by jak na družicích tak i u pozorovatele byly velmi přesné atomové hodiny. Ty jsou však nákladným a náročným zařízením, takže by nebylo praktické, aby je každý uživatel GPS (pozorovatel) měl. Využívá proto méně přesné křemíkové hodiny. Oprava jeho nedostatečně přesného času se řeší pomocí další družice, jejíž polohu a čas vyslání signálu zná. Ta zavádí čtvrtou kouli. Povrchy všech čtyř koulí by se měly protnout přesně v jednom bodě. Vlivem nepřesnosti v určení času pozorovatele tomu však není. Korekce, která posunem času pozorovatele docílí přesného protnutí všech čtyř koulí, umožní opravit čas pozorovatele a GPS je tak i zdrojem velmi přesného času pro něj.

Nejmodernější současný typ družice GPS IIR

Určení přesné doby letu signálu.

Přesnost, se kterou je třeba znát dobu letu signálu, je velmi dobře dána požadovanou přesností určení polohy a tedy i vzdálenosti. Vyjdeme z rychlosti světla, která je 300000000 m/s = 3∙10⁸ m/s, a zhruba můžeme říci, že pro přesnost určení vzdálenosti v řádu 1 m potřebujeme čas určovat s řádovou přesností okolo ns = 10^-9 s. Proto je potřeba provádět řadu korekcí. Některé jsou přesně spočitatelné. Mezi ně patří již zmíněné korekce na speciální a obecnou teorii relativity. Jiné závisí na vlastnostech prostředí, kterým se družice pohybuje, nebo se jím pohybuje signál zachycovaný pozorovatelem. Jde například o změnu rychlosti signálu při pohybu ionosférou a troposférou, jejichž vlastnosti se s časem mění. V tomto konkrétním případě se dá s výhodou využít toho, že budeme vysílat na dvou různých frekvencích. Rychlost rádiových vln s různou vlnovou délkou se při průchodu prostředím liší a s rozdílu jejich příchodu lze odhadnout stav ionosféry a provést příslušné korekce. Dráhu družice i přesnost určení doby šíření signálu ovlivňuje dále také tlak záření, různé šumy i další fyzikální jevy. Poznamenejme, že boj s těmito nepřesnostmi se stává velmi složitým právě na úrovni určení vzdálenosti s přesností zhruba v řádu metru. Výrazné zpřesnění určení polohy lze docílit srovnáním doby letu signálů k pozorovateli s dobou letu signálů ze stejných družic zaznamenaných pozemní stanicí s přesně známou polohou relativně blízko pozorovatele. Metoda, které se říká diferenciální GPS, umožňuje velmi silně potlačit vliv atmosférických a ionosferických podmínek na přesnost určení polohy.

Uživatelské zařízení GPS Garmin GPS215

Jaký je vliv relativistických oprav.

Podívejme se nyní na korekce, které lze spočítat pomocí Einsteinových teorií. V tomto případě jde o dvě třídy jevů. Jedny popisuje speciální teorie relativity a druhé pak obecná teorie relativity.

Speciální teorie relativity popisuje jev, kdy pozorujeme, že čas objektu, který se vůči nám pohybuje rovnoměrně přímočaře plyne pomaleji než náš. Jak už bylo zmíněno, je tento jev v částicové a jaderné fyzice běžný a bez jeho započtení by nefungoval žádný urychlovač na alespoň trochu větší energie. Na největších urychlovačích se částice pohybují rychlostmi jen zanedbatelně se lišícími od rychlosti světla. Například čas protonů, které budou urychlovány na největším právě dokončovaném urychlovači LHC plyne z našeho pohledu sedmtisíckrát pomaleji a podobně to bude u částic které vznikají při srážkách na něm. Například částice Σ⁺, jejíž poločas rozpadu je v klidu 0,6∙10^-10s, by za normálních okolností s nerelativistickou rychlostí urazila dráhu nejvýše pár centimetrů. Tyto částice vznikající s vysokou kinetickou energií při srážkách protonů na LHC urazí bez problémů i několik metrů. Družice systému GPS mají rychlosti o mnoho řádů menší, zhruba 12 000 km/h což je okolo 3300 m/s. V tomto případě je tak plynutí času na družici pouze o 5∙10^-9 % pomalejší. Přesto se však už za hodinu nasbírá rozdíl 180 ns, který znamená chybu v určení vzdálenosti přes padesát metrů.

Obecná teorie relativity předpokládá vliv gravitačního pole na tok času. Čím vyšší je intenzita gravitačního pole, tím pomaleji běží čas. Intenzita gravitačního pole klesá s kvadrátem vzdálenosti. Při vzdálenosti družic zmíněných zhruba 20000 km od Země je tak gravitační pole v místě pozorovatele více než šestnáctkrát intenzivnější než v místě družice. Běh času v místě pozorovatele tak zpomaluje více než v místě družice. Velikost tohoto rozdílu je zhruba 50∙10^-9 %. Je v opačném směru a větší než korekce ze speciální teorie relativity. Oba tyto vlivy se tak kompenzují jen částečně. Zůstatková hodnota je zhruba 45∙10^-9 % a za hodinu vede k rozdílu času zhruba 1600 ns a chybě v měřené vzdálenosti zhruba 480 m. Korekce se provádí tak, že se frekvence hodin na družici nastavuje na nižší hodnotu. Její hodiny tak běží pomaleji. Velikost dalších korekcí je už menší. Dráha družice není úplně kruhová, takže se vzdálenost družice od povrchu Země a intenzita gravitačního pole na dráze družice mění. Běh času na družici tak není rovnoměrný. Pro družici, která se pohybuje na dráze mezi vzdáleností od Země 19 848 km a 20 516 km (příklad družice vypuštěné 16.7.2000) je maximální velikost korekce zhruba 65 ns. Korekce na tuto odchylku se z historických důvodů provádí (započítává) u přijímacího zařízení. Ještě menší změny toku času jsou dány tím, že se družice pohybuje nerovnoměrným zakřiveným pohybem v gravitačním poli vytvářeném rotujícího objektem. Navíc se signál z družice pohybuje gravitačním polem, které není konstantní (směrem k Zemi roste). Nepohybuje se také přesně po „newtonovské“ přímce, ale po zakřivené dráze. Dále také není tvar Země kulový a sférické není ani její gravitační pole. To vede k periodickým změnám toku času na družici. Tyto vlivy jsou mnohem menší než předchozí jmenované, pro určování polohy při požadované přesnosti do řádu centimetrů je lze zanedbat a zatím se nezapočítávají. Pokud se chcete podívat, jak se některé korekce na obecnou teorii relativity počítají, můžete je najít i s dalšími odkazy v článku Pavla Klepáče a Jana Horského v Československém časopisu pro fyziku číslo 5 z roku 2003.

Často se připomíná, že, když Američané 22. února 1978 vyslali na oběžné dráhy své první navigační satelity, atomové hodiny na jejich palubách nebyly vybaveny relativistickými korekcemi. Nastala katastrofa. „Superpřesné“ hodiny šly natolik „špatně“, že chyba při určováni polohy už během jediného dne narostla na více než jedenáct kilometrů. Bylo potřeba zorganizovat potřebné korekce ze Země dodatečně. Při konstrukci dalších družic už se počítalo s tím, že při dané rychlosti a vzdálenosti od Země jdou hodiny prostě jinak než na Zemi.

Družice systému GPS

Moderní fyzika nám vstupuje do života.

I na příkladu GPS je vidět, jak nám moderní fyzika vstupuje do běžného života. A to formou teorií, jejichž nutnost bychom předpokládaly jen v tak extrémních situacích, jako jsou černé díry či velké urychlovače částic. Už teď je spolehlivá funkce GPS jasným důkazem platnosti jak speciální tak i obecné teorie relativity. S nárůstem požadované přesnosti určování polohy porostou i požadavky na přesnost určení času a započtení dalších korekcí plynoucích z obecné teorie relativity. Běžný člověk se tak se zvětšujícím počtem aplikací využívajících přesný čas a polohu, které jsou a budou poskytovány globálními pozičními systémy, bude stále více vědomě či nevědomky setkávat s obecnou teorií relativity a svou každodenní činností ověřovat stále detailněji její platnost. Připomeňme, že také Evropa se chystá k vybudování navigačního systému na tomto principu, který by se měl jmenovat Galileo a měl by se připojit k americkému GPS (NAVSTAR) a ruskému systému Glonass v roce 2010.

---